Аннотация. Рассматривается вопрос, в каких случаях и при каких условиях получаются те или иные сочетания кривых второго порядка при варьировании угла поворота и конусности пересекающихся конических поверхностей, описанных вокруг сферы. Постановка задачи исследования описывается на основании теоремы Монжа и условий, определяемых ею. С учётом практического значения теоремы Монжа подчёркивается важность рассмотрения трансформации линий пересечения конических поверхностей не только при изменении угла между их осями, но и в зависимости от конусности поверхностей. Для удобства визуализации трансформации вида линий пересечения конических поверхностей предложено использование круговой диаграммы. Рассмотрены частные случаи пересечения конических поверхностей, описанных вокруг сферы. Приведены примеры визуализации процесса трансформации линий пересечения конических поверхностей при помощи предлагаемых круговых диаграмм при различных углах конусности и углах между осями поверхностей. Проанализированы возможные варианты вида линии взаимного пересечения конических поверхностей с различной конусностью, при изменении угла между осями поверхностей. Предложен вариант использования результатов исследования в образовательном процессе путём анализа задачи при помощи предлагаемых диаграмм, последующего компьютерного трехмерного моделирования пересекающихся поверхностей и генеративного создания плоского чертежа. Приведен пример выполненного учебного задания по созданию линий пересечения двух конических поверхностей, описанных вокруг сферы, средствами компьютерного моделирования.
Предмет исследования: частный случай пересечения поверхностей 2-го порядка.
Материалы и методы: геометрический алгоритм моделирования линий взаимного пересечения конических поверхностей – кривых 2-го порядка – с использованием методов сферических посредников и компьютерного моделирования.
Результаты: показано, что вид кривых второго порядка, при пересечении конических поверхностей в частных случаях, зависит не только от величины угла между их осями, а и от величин их конусности. Предложено использование круговой диаграммы для удобства визуализации процесса трансформации вида линий пересечения конических поверхностей.
Выводы: в результате исследования расширено представление о теореме Монжа, как одной из основ теории пересечения поверхностей. Предлагаемая круговая диаграмма позволяет систематизировать и визуализировать варианты трансформации вида линии пересечения конических поверхностей. Результаты исследования могут быть использованы: в учебном процессе – для ускорения восприятия учебного материала и всестороннего осмысления теоремы Монжа; в строительстве и архитектуре – при проектировании конструкций с элементами пересекающихся конических поверхностей.
Abstract. The question is considered in what cases and under what conditions certain combinations of second-order curves are obtained by varying the angle of rotation and taper of intersecting conical surfaces circumscribed around a sphere. The statement of the research problem is described on the basis of the Monge theorem and the conditions determined by it. Taking into account the practical significance of Monge's theorem, the importance of considering the transformation of the lines of intersection of conical surfaces is emphasized not only when the angle between their axes changes, but also depending on the conicity of the surfaces. For the convenience of visualizing the transformation of the type of lines of intersection of conical surfaces, the use of a pie chart is proposed. Particular cases of intersection of conical surfaces circumscribed around a sphere are considered. Examples of visualization of the process of transformation of the lines of intersection of conical surfaces using the proposed circular diagrams at various taper angles and angles between the axes of the surfaces are given. Possible variants of the line of mutual intersection of conical surfaces with different taper are analyzed, when the angle between the axes of the surfaces changes. A variant of using the research results in the educational process by analyzing the problem using the proposed diagrams, followed by computer three-dimensional modeling of intersecting surfaces and generative creation of a flat drawing is proposed. An example of a completed training task on the creation of lines of intersection of two conical surfaces described around a sphere by means of computer simulation is given.
Subject: a special case of intersection of surfaces of the second-order.
Materials and methods: geometric algorithm for modeling lines of mutual intersection of conical surfaces – curves of the second-order – using the method of spherical mediators.
Results: it is shown that the form of curves of the second order, when crossing conical surfaces in particular cases, depends not only on the angle between their axes, but also on the values of their taper. The use of a pie chart is proposed for the convenience of visualizing the process of transformation of the type of lines of intersection of conical surfaces.
Conclusions: the proposed pie chart allows you to systematize and visualize the options for transforming the type of line of intersection of conical surfaces. The results of the study can be used in the educational process to accelerate the perception of educational material and a comprehensive understanding of the Monge theorem.
полный текст на сайте stroyjurnal-asa.ru